타원체의 측지학

Geodesics on an ellipsoid
타원체의 지오데틱

타원체에서의 지질학 연구는 특히 삼각망 해법과 관련하여 발생하였다. 지구의 형상약간 평평한 구인 타원체로 잘 추정되고 있다. 지오데식(geodesic)은 곡선 표면에서 두 점 사이의 가장 짧은 경로로 평면 표면의 직선과 유사하다. 따라서 타원체에서 삼각망 해법은 spheroidal trigonometry (Uler 1755)의 일련의 운동이다.

지구가 구()로 취급되면 지오디컬은 큰 (모두 닫힌 원)이고 문제는 구면 삼각법에서 하나로 줄어든다. 그러나, 뉴턴 (1687)은 지구의 자전 효과로 인해 약간 소실된 타원체(타원체)를 닮았다는 것을 보여주었다: 이 경우, 적도와 경맥은 유일하게 단순한 폐쇄형 지질학이다. 더욱이 적도에서 두 지점 사이의 최단 경로는 반드시 적도를 따라 달릴 필요는 없다. 마지막으로 타원체가 더욱 뒤틀려 삼축 타원체가 되면(별도의 반축이 세 개 있음) 오직 3개의 지오데틱만이 닫힌다.

회전 타원형 지오데틱스

지리학을 정의하는 방법에는 여러 가지가 있다(Hilbert & Cohn-Vossen 1952, 페이지 220–221). 단순한 정의는 표면에서 두 점 사이의 최단 경로로 정의된다. 단, 지오데틱 곡면성이 0인 경로(즉, 곡면상의 직선의 아날로그)로 정의하는 것이 종종 더 유용하다. 이 정의는 타원체 표면을 가로질러 멀리 여행하는 지오디컬을 포함하며, 그들이 출발점 쪽으로 돌아가기 시작하며, 다른 경로가 더 직접적이고, 스스로 교차하거나 재추적하는 경로를 포함한다. 충분히 짧은 지질학적 세그먼트는 여전히 엔드포인트 사이의 최단 경로지만, 지오디컬이 반드시 전지구적으로 최소인 것은 아니다(즉, 가능한 모든 경로 중에서 최단). 전세계적으로 가장 짧은 모든 경로는 지오데틱이지만, 그 반대는 아니다.

18세기 말에 이르러 혁명의 타원체(Spheroid라는 용어도 사용됨)는 지구의 형상에 잘 수용된 근사치였다. 삼각망 조정에는 모든 측정값을 기준 타원체로 줄이고 그에 따른 2차원 문제를 spheroidal trigonometry (Bomford 1952년, Chap. 3) (Leick et al. 2015, §4.5) 연습으로 해결하는 것이 수반되었다.

그림 1. 혁명의 타원형 위에 있는 지오데틱 AB. N은 북극이고 EFH는 적도에 있다.

다양한 지질학적 문제를 두 가지 유형 중 하나로 줄일 수 있다. 위도 φ1 경도 λ에서의1 A와 위도 φ2 경도 λ에서의2 B의 두 점을 고려한다(그림 1 참조). 연결 지오데틱(A에서 B까지)은 길이12 s의 AB로, 두 엔드포인트에서 방위 α1 α2 있다.[1] 일반적으로 고려되는 두 가지 지질학적 문제는 다음과 같다.

  1. 직접 측지 문제 또는 12 번째 측지 문제(A, α1 및 s)는 Bα2 결정한다.
  2. 역 지오데틱 문제 또는번째 지오데틱 문제AB가 주어진 경우 s, α121, α2 결정한다.

그림 1에서 볼 수 있듯이, 이러한 문제들은 하나의 각도가 주어진 삼각형 NAB, 즉 직접문제의 α1 역문제의 λ12 = λ2 - λ1, 그리고 그 두 개의 인접한 면을 해결하는 것을 포함한다. 구체의 경우, 이러한 문제들에 대한 해결책은 구면 삼각형을 풀기 위한 공식에 의해 주어진 구면 삼각형의 단순한 운동이다. (대순환 항법 관련 기사 참조)

회전 타원체의 경우, 지오데틱을 정의하는 특성 상수는 Clairaut(1735)에 의해 발견되었다. 지질학의 경로에 대한 체계적인 해결책은 레전드르(1806)오리아니(1806) (그리고 1808년1810년의 후속 논문)에 의해 주어졌다. 직접적인 문제에 대한 전체 해결책(계산표와 연습된 예시 포함)은 베셀(1825)이 제공한다.

18세기 동안 지오디컬은 일반적으로 "가장 짧은 선"이라고 불렸다. "지오데틱 라인"(사실상, 곡선)이라는 용어는 라플라스 (1799b)에 의해 만들어졌다.

Nous désignerons cette ligne sous le nom de ligne géodesique [우리는 이 선을 지오데식 선이라고 부를 것이다.

이 용어는 영어로 "지오데틱 라인" 또는 "지오데틱 라인"으로 소개되었다(예: Hutton 1811),

우리가 지금 기술하고 있거나 삼각측량에서 추론한 선은 우리가 제시한 방법으로 측지선 또는 측지선이라고 불린다: 지구 표면의 두 가지 극지점 사이에 그려질 수 있는 가장 짧은 성질을 가지고 있다. 따라서 그것은 원점의 적절한 여행 일정 측정이다.그 두 점 사이에 끼어들다

다른 분야에서의 채택에서는 지오디컬로 자주 단축되는 지오디컬 라인이 선호되었다.

이 절에서는 혁명의 타원체(지우기 및 탈구)에 관한 문제를 다룬다. 삼축 타원체의 문제는 다음 절에서 다룬다.

측지법에 대한 방정식

그림 2. 자오선 타원의 차동 요소
그림 3. 타원체 위의 지오데틱의 미분 요소.

여기서 지오데틱에 대한 방정식이 개발된다; 파생은 베셀(1825)의 그것과 밀접하게 일치한다. 요르단 & 에거트(1941)바그라투니(1962년, §15), 간신(1967년, 채프 5년), 크라키wsky & 톰슨(1974년, §4), 랍(1993년, §1.2), 제켈리(2012년), 보레 & 교살(2012년) 등도 이러한 방정식의 파생어를 제공한다.

적도 반지름 a와 극 반축 b를 가진 회전 타원체를 고려한다. Define the flattening f = (ab)/a, the eccentricity e = a2b2/a = f(2 − f), and the second eccentricity e′ = a2b2/b = e/(1 − f). (In most applications in geodesy, the ellipsoid is taken to be oblate, a > b; however, the theory applies without change to prolate ellipsoids, a < b, in which case f, e2, and e2 are negative.)

타원체 경로의 기본 세그먼트에 길이 ds를 갖도록 한다. 그림 2와 3에서 우리는 방위각이 α일 경우 ds와 관련됨을 알 수 있다.

(1) = = =- d s=

여기서 ρ곡률의 경혈 반지름이고, R = ν cosφ은 위도 φ의 원의 반지름이며, ν곡률의 정상적인 반지름이다. 따라서 기본 세그먼트는 다음과 같이 주어진다.

또는

여기서 φ′ = /라그랑지안함수 Lφ ~ ((() R(φ)에 의존한다. 1, λ1)2, λ2) 사이의 임의 경로의 길이는 다음과 같다.

여기서 φφ(λ1) = φ1, φ(λ2) = φ(λ) = φ2(λ)을 만족시키는 λ의 함수로서, 가장 짧은 경로나 지오데틱은 s12 최소화하는 φ(λ) 함수를 발견하게 된다. 이것은 변동의 미적분학에서의 연습이며, 최소 조건은 벨트라미 정체성에 의해 주어진다.

L을 대체하고 Eqs를 사용한다. (1)은 다음과 같다.

클레라우트(1735)는 기하학적 구조를 사용하여 이러한 관계를 발견했다. 유사한 파생은 류스터니크(1964, §10)에 의해 제시된다.[2] 이 관계를 차별화하면 다음과 같은 이점을 얻을 수 있다.

이는 Eqs.(1)와 함께 지오데틱에 대한 일반적인 미분 방정식의 시스템으로 이어진다.

R파라메트릭 위도 β 단위로 표현할 수 있으며,

그리고 클레라우트의 관계는

그림 4. 보조 구체에 매핑된 지오데틱 문제.
그림 5. 보조구의 기초 지오데틱 문제.

구면 삼각 법의 사인 법칙.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.frac.num,.mw-parser-output.frac .den{:80%;line-height:0;vertical-align:슈퍼 font-size}.mw-parser-output.frac .den{vertical-align:서브}.mw-parser-output .sr-only{삼각형은 NAB(그림 4)의 양면, 나디아)관련된 것.국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1⁄2π− β1, NB=1⁄2π− β2과 그들의 정반대의 입장 B)− α2과 A=α1 π.

제3면 AB = σ12, 구면길이 및 포함된 각도 N = Ω12, 구면 경도 에 대한 관계를 찾으려면 적도에서 시작하는 지오데틱을 나타내는 삼각형 NEP를 고려하는 것이 유용하다. 그림 5를 참조한다. 이 그림에서 보조 구체에 언급된 변수는 괄호 안에 표시된 타원체 수량과 함께 표시된다. 첨자가 없는 수량은 임의의 지점 P를 가리키며, 북쪽 방향으로 지오데틱이 적도를 가로지르는 지점인 Eσ, s, Ω의 원점으로 사용된다.

그림 6. 구에 있는 지오데틱의 미분 요소.

P를 인피니티로 이동하여 측면 EP를 확장하는 경우(그림 6 참조), 우리는 다음을 얻는다.

(2)α d = d = cos d {

Eqs. (1)과 (2)를 조합하면 sλ에 대한 미분 방정식이 주어진다.

βφ의 관계는

어떤 것을 주는지

지오데틱의 미분방정식이 될 수 있도록

마지막 단계는 이 두 미분 방정식에서 σ을 독립적 매개변수로 사용하여 sλ을 적분으로 표현하는 것이다. 그림 5의 구형 삼각형 EGP에서 정점 EG에 사인 규칙을 적용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

여기서 α0 E에서 방위각이다. 이를 ds/dd에 대한 방정식으로 대체하고 결과를 통합하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

(3) . = + k 2 d {\ {

어디에

그리고 적분에서의 한계는 s = 0) = 0이 되도록 선택된다. 범례(1811, 페이지 180)는 s에 대한 방정식이 반축 b11 + e cos 2cosα20 b가 있는 타원의 호에 대한 방정식과 동일하다고 지적했다. λ에 대한 방정식을 terms의 관점에서 표현하기 위해 우리는 쓴다.

Eq. (2)와 Clairaut의 관계에서 따온 것이다. 이것은 생산된다.

(4) . - = - 0 - f + (- ) + k

적도를 건널 때 at = λ0, σ = 0으로 적분 한계치를 선택한다.

이로써 보조구를 이용한 지오데틱 경로의 해법이 완성된다. 이 장치에 의해 거대한 원은 정확히 혁명의 타원 위에 있는 지오데틱에 매핑될 수 있다.

지상 타원체(작은 평탄화 포함)에 근사 지오디컬에 대한 몇 가지 방법이 있다(Rapp 1991년, §6). 이 중 일부는 지리적 거리에 관한 기사에 설명되어 있다. 단, 이것들은 일반적으로 정확한 용액의 방법과 복잡성이 비교된다(Jekeli 2012, §2.1.4).

지질학적 거동

그림 7. 경맥과 적도는 유일하게 닫힌 지오디컬이다.(매우 평평한 타원체의 경우, 다른 닫힌 지오디컬이 있다; 그림 11과 12 참조).
α0 = 45°의 지오데식 타원체(f = 1⁄50)
그림 8. 타원체의 지오데틱을 따라 약 5 회로 이동.
그림 9. 약 70회 회로 후 동일한 지오데틱.
그림 10. α = 450°의 프로이트 타원체(f = -150)의 지질학. 그림 8과 비교해 보십시오.

그림 7은 경맥(녹색)과 적도(빨간색)로 구성된 단순 폐쇄형 지오데틱을 보여준다. (여기서 자격 "단순함"은 지오데틱이 개입된 자기 절개 없이 스스로 닫히는 것을 의미한다. 이는 앞 절에 제시된 지오다이오드 방정식에서 나온 것이다.

다른 모든 지오디컬은 그림0 8과 9에 의해 특징지어지며, 적도에서 α = 45°로 시작하는 지오디컬을 보여준다. 지오데틱은 적도를 중심으로 진동한다. 적도 교차점을 노드라고 하고, 최대 위도 또는 최소 위도의 을 정점이라고 하며, 정점의 파라메트릭 위도는 β = ±(½π - α0)로 주어진다. 지오데틱은 경도가 360° 증가하기 전에 위도에서 하나의 완전한 진동을 완료한다. 따라서 적도의 연속적인 북쪽으로 건널 때(그림 8 참조) λ은 적도의 전체 회로에 약 2 f f sinα0 부족한다(탈출산 타원체의 경우, 이 양은 음이고 λ은 전체 회로보다 더 많은 것을 완성한다. 그림 10 참조). 거의 모든 α0 값에 대해, 지오데틱은 두 꼭지점 위도 사이의 타원체 부분을 채울 것이다(그림 9 참조).

지워진 타원체용 폐쇄형 지오디컬 2개, ½a = 27.
그림 11. 측면도.
그림 12. 맨 위 보기.

타원체가 충분히 소거된 경우, , a < ½>, 다른 종류의 단순 폐쇄형 지오데오데오틱이 가능하다(Klingenberg 1982, §3.5.19). 그러한 두 가지 지오디컬은 그림 11과 12에 설명되어 있다. 여기서 ½a = 27이고 녹색(resp. blue) 측지법에 대한 적도 방위각0 α는 53.175°(resp. 75.192°)로 선택되어, 지오디틱은 타원체 한 회로에 적도 주변의 완전한 진동을 2 (resp. 3) 완료한다.

그림 13. f = 110, , = -301°의 단일 지점으로부터의 측지학(파란색); 지오데틱 원은 녹색으로 표시되고 컷 로커스는 빨간색으로 표시된다.

그림 13은 최단 경로에서 정지하는 지점까지 15°의 배수로 Aα1 방출하는 측지학(파란색)을 보여준다. (타원화 효과를 강조하기 위해 평탄화가 1/10로 증가되었다.) 또한 (녹색으로) 상수 s12 곡선이 나타나며, 이는 A를 중심으로 한 지오데틱 원이다. 가우스(1828)는 어떤 표면에서든 지오디컬과 지오디컬 원이 직각으로 교차한다는 것을 보여주었다. 빨간색 선은 A로부터 최단 지오다이오드를 여러 개(이 경우 2개) 가진 점의 위치인 절단 로쿠스다. 구체에서는 잘린 로쿠스가 포인트다. 말살된 타원체(여기에 표시)에서 A, , = 1 대한 점 대척점을 중심으로 한 위도 원의 한 부분이다. 절단 로커스의 세로 범위는 대략 λ12 ∈ [π - f π cos cos1, π + f cos cosφ1]이다. 만약 A가 적도에 있다면1, = = 0, 이 관계는 정확하고 그 결과 λ12 (1 - f if이면 적도는 최단 지오데틱일 뿐이다. 프로이트 타원체의 경우, 컷 로커스는 A, λ12 = π까지의 점 대척점을 중심으로 한 항메르디안의 한 부분이며, 이는 경혈 지오데오데틱스가 항모데탈 지점에 도달하기 전에 최단 경로가 되는 것을 의미한다.

지오디컬의 차동 특성

지오디컬과 관련된 다양한 문제들은 그들이 혼란스러울 때 그들의 행동을 알아야 한다. 이것은 측지학 등을 따르는 신호의 물리적 특성을 결정하면서 삼각계 조정(Ehlert 1993)에 유용하다. s로 매개변수화된 기준 지오데틱과 그것에서 작은 거리 t(s)로 떨어진 두 번째 지오데틱을 고려한다. 가우스(1828)t가우스-자코비 방정식에 복종한다는 것을 보여주었다.

그림 14. 축소된 길이 및 지오데틱 스케일의 정의.

여기서 K s에서 가우스 곡면이다. 두 번째 순서인 선형, 균질 미분 방정식으로서, 그 용액은 두 개의 독립적 용액의 합으로 표현될 수 있다.

어디에

수량 m(s1, s2) = m12 이른바 감소된 길이, M(s1, s2) = M12 지오데틱 스케일이다.[3] 그들의 기본적인 정의는 그림 14에 설명되어 있다.

회전 타원체에 대한 가우스 곡률은

헬머트(1880, Eq. (6.5.1.)는 이 경우에 대한 가우스-자코비 방정식을 해결하여 m12 M12 통합체로 표현할 수 있게 했다.

그림 14(상단 하위 그림)에서 볼 수 있듯이, 1 다른 방위각으로 같은 지점에서 시작되는 두 지오디컬의 분리는 이다121. 타원체 같은 닫힌 표면에서 m12 약 0으로 진동한다. m12 0이 되는 지점은 시작점에 대한 점 결합이다. AB 사이12 지오데틱(길이 s)이 최단 경로가 되려면 자코비 조건(Jacobi 1867, §6) (Forsyth 1927, §26–27) (Bliss 1916)을 충족해야 하며, A와 B 사이에 의 결합이 없어야 한다. 이 조건이 충족되지 않으면 짧은 가까운 경로(지오데믹이 반드시 필요한 것은 아님)가 있다. 그러므로 자코비 조건은 지오데틱의 국부적 특성이며 지오데틱이 전지구적 최단 경로가 되는 데 필요한 조건일 뿐이다. 최단 경로가 되는 지오데틱에 필요한 조건과 충분한 조건은 다음과 같다.

  • 타원체, σ12 π;
  • 프로이트 타원체의 경우, α120 0일 경우, α0 = 0일 경우, λ12 = π일 경우 보충 조건 m12 0이 필요하다.

지오디컬의 외피

단일 점으로부터의 측지학(f = ½1 = -30°)
그림 15. φ1 = -30°의 지점 A에서 지오디컬의 외피.
그림 16. A와 점 B를 연결하는 4개의 지오디컬, φ2 = 26° λ12 = 175°.

절단된 위치를 계속 지나갈 경우 특정 지점 A의 지오디컬은 그림 15에 표시된 봉투를 형성한다. 여기에 α1 의 배수인 지오디컬이 연한 청색으로 표시된다. (지오디컬은 항정신병 지점에 가까운 첫 번째 통로에 대해서만 표시되며, 이후 통로에 대해서는 표시하지 않는다.) 몇몇 지오데틱 서클은 녹색으로 표시된다; 이것들은 봉투에 쿠스프 형태로 나타난다. 절단된 로커스는 빨간색으로 표시되어 있다. 봉투는 A와 결합되는 점의 중심이다. 봉투의 점은 지오데믹에서 m12 = 0을 찾아 계산할 수 있다. 자코비(1891)는 봉투에 의해 생산된 이 별 모양의 형체를 아스트로이드라고 부른다.

아스트로이드 바깥쪽은 각 지점에서 두 지오데틱이 교차하므로 A와 이 지점들 사이에는 두 가지 지오데틱(길이와 타원체의 원주의 약 절반)이 있다. 이는 두 지점 사이의 큰 원에 "짧은" 노선과 "긴" 노선이 있는 구의 상황에 해당한다. 아스트로이드 내부에는 네 개의 지오데틱이 각 지점에서 교차한다. 4개의 그러한 지오디컬이 그림 16에 나타나 있는데, 여기서 지오디컬은 길이가 증가하는 순서대로 번호가 매겨진다. (이 그림은 그림 13과 A에 대해 동일한 위치를 사용하며 동일한 투영으로 그려진다.) 두 개의 짧은 지오데틱은 안정적이므로, 12 m > 0이므로 더 짧은 두 지점을 연결하는 가까운 경로가 없고, 다른 두 개의 지오데틱은 불안정하다. 가장 짧은 선(첫 번째 선)만 σ12 π이 있다. 모든 지오디컬은 그림에서 녹색으로 표시된 봉투에 접한다.

아스트로이드(Astroid)는 A를 중심으로 한 지오데틱 원의 (전방)탈출이다. 마찬가지로 지오데틱 서클은 아스트로이드의 비자발적이다.

지오데틱 폴리곤의 면적

지오데틱 폴리곤(geodesic polygon)은 옆면이 지오데틱인 폴리곤이다. 그것은 옆면이 원 모양인 구형 다각형과 유사하다. 그러한 다각형의 영역은 지오데틱 부분과 적도 사이의 영역, 즉 그림 1의 사각형 AFHB 영역(Danielsen 1989년)을 먼저 계산하여 찾을 수 있다. 이 영역이 알려지면 폴리곤의 모든 가장자리의 기여도를 합산하여 폴리곤 영역을 계산할 수 있다.

여기서 Sjöberg(2006)에 이어 AFHB 영역 S12 대한 표현이 개발된다. 타원체의 닫힌 영역의 영역은

여기서 dT는 표면적의 요소, K가우스 곡률이다. 이제 가우스-보넷 정리(Gauss-Bonnet 정리)는 지오데틱 폴리곤 상태에 적용되었다.

어디에

지오데틱스 과잉이고 θj 꼭지점 j의 외부 각도다. γ에 대한 방정식을 R22 곱하고, 여기서 R2 Authalic radius이며, T에 대한 방정식에서 이를 빼면 T가 된다.

타원체 K 이 대체된 경우. formula = α2 - α1 주목하여 이 공식을 4각형 AFHB에 적용하고, φ에 대해 적분을 수행하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

여기서 적분은 지오데틱 라인 위에 있다(그러므로 φ은 암시적으로 λ의 함수임). 적분은 소형 f (Danielsen 1989년) (Karney 2013, §6 및 부록)에 유효한 시리즈로 표현할 수 있다.

지오데틱 폴리곤의 면적은 가장자리 위로 S12 합하여 주어진다. 이 결과는 폴리곤이 폴을 포함하지 않는다면 유지된다. 폴곤이 폴을 포함하지 않을 경우, 2㎛ R22 합계에 추가해야 한다. 가장자리가 정점으로 지정되면 지오데틱 초과 E12 = α2 - α1 대한 편리한 표현은 다음과 같다.

직접 및 역문제의 해결

지오데틱 문제를 해결하려면 지오데틱을 보조 구에 매핑하고 해당 문제를 큰 원 탐색으로 해결하는 것이 필요하다. 그림 5에서 NEP에 대한 "초등" 구형 삼각형을 해결할 때, 사분원 삼각형에 대한 Napier의 규칙을 사용할 수 있다.

지오데틱의 매핑은 거리, s 및 경도, ,, Eqs. (3)과 (4)에 대한 통합을 평가하는 것을 포함하며, 이것들은 매개변수 α0 의존한다.

α0 주어진 수량 φ1 α에서1 직접 결정할 수 있기 때문에 직접 문제를 다루는 것은 간단하다.

역문제의 경우 λ12 주어지는데, α0 알 수 없기 때문에 등가 구면각 Ω12 쉽게 관련될 수 없다. 따라서 문제의 해결은 α0 반복적으로 발견될 것을 요구한다.

f가 작은 측지 애플리케이션에서 통합은 일반적으로 시리즈(레전드르 1806) (Oriani 1806) (Besel 1825) (Helmert 1880) (Rainsford 1955) (Rapp 1993)로 평가된다. 임의 f의 경우, 적분(3)과 (4)은 숫자 사분법으로 또는 타원 적분(레전드르 1806) 단위로 표현하여 찾을 수 있다(Cayley 1870).

Vincenty(1975)는 직접 및 역 문제에 대한 해결책을 제공한다. 이 해결책은 평탄화에서 세 번째 순서로 수행된 연속 확장에 기초하며 WGS84 타원체에서 약 0.1 mm의 정확도를 제공한다. 그러나 역법은 거의 대척점에 대해 수렴하지 못한다. 카니(2013년)f ½ ⁄50에 대해 완전한 이중 정밀도 정확도를 제공하기에 충분할 정도로 6차까지 확장을 계속하고 있으며, 모든 경우에 수렴하도록 역문제의 해결책을 개선한다. 카니(2013, 부록)는 타원형 적분법을 사용하여 임의 평탄화가 가능한 타원형 적분법을 확장한다.

삼축 타원체의 측지학

혁명의 타원체에 대한 지질학적 문제를 해결하는 것은 수학적인 관점에서 비교적 간단하다: 대칭성 때문에, 지오데틱스는 클라이라우트의 관계에서 주어진 운동 상수를 가지고 있어 문제를 4중으로 줄일 수 있다. 19세기 초까지(레전드르, 오리아니, 베셀, 등) 혁명의 타원체 위에 지질학의 성질을 완전히 이해하게 되었다.

반면 삼축 타원체(불균등한 세 개의 축을 가진)의 지오디컬은 운동 상수가 뚜렷하지 않아 19세기 전반의 도전적인 미해결 문제를 나타내었다. 자코비(1839년)는 주목할 만한 논문에서 이 문제를 4중으로 줄일 수 있는 움직임의 상수를 발견했다(Klingenberg 1982, §3.5).[4]

삼축 타원 좌표계

그림 17. 삼축 타원 좌표.

다음에 의해 정의된 타원체 고려

여기서 (X,Y,Z)는 타원체를 중심으로 하는 데카르트 좌표로서, 일반성을 상실하지 않고b ≥ c > 0.[5] 자코비(1866, §26–27)는 (삼축) 타원체 좌표(삼축 타원체 위도삼축 타원 경도, β, Ω)를 채용하였다.

한계 b a에서 β는 말살 타원체의 파라메트릭 위도가 되기 때문에 기호 β의 사용은 이전 절과 일치한다. 그러나 Ω은 위에서 정의한 구형 경도와는 다르다.[6]

상수 β(파란색) 및 Ω(녹색)의 격자선은 그림 17에 제시되어 있다. 이것들은 직교 좌표계를 구성한다: 격자선은 직각으로 교차한다. X = 0Z = 0으로 정의되는 타원체의 주 섹션은 빨간색으로 표시된다. 세 번째 주 섹션인 Y = 0β = ±90°Ω = 또는 ±180° 라인으로 덮여 있다. 이 선들은 주요 곡률 반경이 동일한 4개의 탯줄 지점(이 그림에서 두 개의 선)에서 만난다. 여기서와 이 절의 다른 그림에서 타원체의 매개변수는 a:b:c = 1.01:1:0.8이며, φ = 40°, λ = 30° 위의 지점에서 직교 투영으로 본다.

타원 좌표의 격자선은 세 가지 다른 방법으로 해석할 수 있다.

  1. 그것들은 타원체에서 "곡률선"이다: 원곡률의 방향과 평행하다(Monge 1796)
  2. 그것들은 또한 1장과 2장의 하이퍼볼로이드의 공초점 시스템과 타원체의 교차점이다(Dupin 1813, Part 5).
  3. 마지막으로 두 개의 인접한 탯줄을 사용하여 정의된 지질 타원 및 하이퍼볼라(Hilbert & Cohn-Vossen 1952, 페이지 188)이다. 예를 들어 그림 17의 상수 β 선은 문자열의 끝이 두 개의 탯줄 점에 고정된 타원에 대한 익숙한 문자열 구조로 생성될 수 있다.

자코비의 해결책

자코비는 타원체 좌표로 표현된 지질 방정식은 분리할 수 있다는 것을 보여주었다. 다음은 그가 그의 친구이자 이웃인 베셀에게 그의 발견을 어떻게 되뇌었는지에 관한 것이다. (Jacobi 1839, Besel에게 보내는 편지).

그저께, 나는 세 개의 불평등한 축이 있는 타원체 위에 있는 지오데틱 선들의 문제를 4중으로 나누기 위해 줄였다. 그들은 세계에서 가장 간단한 공식인 아벨리아 적분인데, 2개의 축이 동등하게 설정되면 잘 알려진 타원 적분체가 된다.

쾨니히스베르크, 12월 28일 38일

야코비(Jacobi 1839년)가 준 해법은 (Jacobi 1866년, §28)이다.

Jacobi가 언급했듯이 "각 β의 함수는 각도 Ω의 함수와 같다. 이 두 가지 함수는 아벨리아 통합에 불과하다..." 용액에는 두 의 상수 Δ와 γ이 나타난다. 일반적으로 Δ는 통합의 하한을 지오데틱의 시작점으로 삼고 지오데틱의 방향을 γ에 의해 결정하는 경우 0이 된다. 단, 탯줄 지점에서 시작하는 지오데믹의 경우 γ = 0이 있고 Δ가 탯줄 지점의 방향을 결정한다. 상수 γ은 다음과 같이 표현할 수 있다.

여기서 α는 지오데틱이 상수 Ω의 선으로 만드는 각도다. 한계 b a에서 이것은 친숙한 Clairaut 관계인 sinα cosβ = const로 감소한다. Jacobi의 결과의 파생어는 Darboux(1894, §583–584)에 의해 주어진다; 그는 일반 이차 표면에 대해 Louville(1846)에 의해 발견된 해결책을 제시한다.

삼축지오다이오드 조사

극지질, Ω1 = 0°, α1 = 90°
그림 18. β1 = 45.1°
그림 19. β1 = 87.48°

삼축 타원체에는 X = 0, Y = 0, Z = 0으로 주어진 타원체의 세 가지 주요 부분인 단순한 닫힌 지오데오디션이 있을 뿐이다.[7] 다른 측지학을 조사하기 위해서는 Y = 0인 중간 주성분을 직각으로 교차하는 측지학을 고려하는 것이 편리하다. 그러한 지질학은 그림 18-22에 나타나 있으며, 그림 17과 동일한 타원형 매개변수와 동일한 가시 방향을 사용한다. 또한 이들 수치에는 각각 3개의 주요 타원이 빨간색으로 표시되어 있다.

출발점이 β1 ∈(-90°, 901°), Ω = 0, α = 901°인 경우, γ > 0과 지오데틱은 "순환"의 의미로 타원체를 둘러싸고 있다. 지오데틱은 적도의 북쪽과 남쪽으로 진동한다. 각 진동에서 타원체 주위의 전체 회로보다 약간 덜 완성되며, 그 결과 일반적인 경우 두 개의 위도선 β = ±3β1 경계된 영역을 채우는 지오데틱이 발생한다. 그림 18과 19에 두 가지 예가 제시되어 있다. 그림 18은 그림 9와 비교했을 때, 파괴된 혁명의 타원체(because b 때문에)와 실질적으로 같은 행동을 보여준다. 그러나 출발점이 더 높은 위도에 있는 경우(그림 18) ≠ b에 의한 왜곡이 명백하다. 모든 접선은 극지방 지오데믹에 접하며, 타원체를 β = β1(Chasles 1846)로 교차하는 콘코칼컬 단시트 하이퍼볼로이드에 닿는다(Hilbert & Cohn-Vossen 1952, 페이지 223–224).

트랜스폴라 지질학, β1 = 90° α1 = 180°.
그림 20. Ω1 = 39.9°
그림 21. Ω1 = 9.966°

시작점이 β1 = 90°인 경우, Ω1 ∈(0°, 180°), α1 = 180°, 그 다음 γ < 0, 지오데틱은 타원체를 "트랜스폴라"의 의미로 감싸고 있다. 지오데틱은 타원 X = 0의 동쪽에서 서쪽으로 진동하며, 각 진동에서 타원체 주위의 전체 회로보다 약간 더 많이 진동이 완료된다. 일반적인 경우에, 이것은 Ω = Ω1 Ω = 180° - Ω으로1 경계된 영역을 지오디컬로 채우는 결과를 낳는다. 만약 a = b가 되면, 모든 경맥은 지오디컬이며, ≠ b의 영향으로 그러한 지오디컬이 동서로 진동하게 된다. 그림 20과 21에 두 가지 예가 제시되어 있다. 극 부근 지오데틱의 수축은 한계 b c에서 사라지는데, 이 경우 타원체는 프로이트 타원체가 되고 그림 20은 그림 10(옆으로 회전)과 유사할 것이다. 전극 지오다이오드와의 모든 접선은 타원체와 Ω = Ω으로1 교차하는 콘코칼라 이중 시트의 하이퍼볼로이드에 접촉한다.

그림 22. 탯줄 지오데틱, β1 = 90°, ω1 = , α1 = 135°.

시작점이 β1 = 90°인 경우, Ω1 = 0°(탯줄 점), α1 = 135°(지오데틱은 직각으로 타원 Y = 0을 남긴다), then = 0을 반복하여 지오데틱은 반대쪽 탯줄 점을 교차하고 출발점으로 되돌아간다. 단, 각 회로에서 Y = 0과 교차하는 각도가 0° 또는 180°에 가까워져 점증적으로 지오데틱이 그림 22와 같이 타원 Y = 0(하트 1849)(Anold 1989, 페이지 265)에 위치한다. 단일 지오데틱은 타원체의 영역을 채우지 않는다. 모든 탯줄 지오디컬에 접하는 모든 접선은 탯줄 지점에서 타원체와 교차하는 콘포칼라 하이퍼볼라를 만진다.

탯줄 지오데틱은 몇 가지 흥미로운 특성을 즐긴다.

  • 타원체의 어느 지점을 통해서든 두 개의 탯줄 지오데오디컬이 있다.
  • 반대편 탯줄 점 사이의 지오데틱 거리는 지오데틱의 초기 방향에 관계없이 동일하다.
  • 타원의 닫힌 지오디컬 X = 0과 Z = 0은 안정적이지만(처음에는 타원에 가깝고 거의 평행이 되는 지오디컬이 타원에 가깝게 유지됨), 4개의 탯줄을 모두 통과하는 타원 Y = 0의 닫힌 지오디컬은 기하급수적으로 불안정하다. 흔들리면 Y = 0면 밖으로 휘둘러서 뒤척이다가 다시 평면에 가깝게 돌아온다. (이러한 행동은 초기 섭동의 성격에 따라 반복될 수 있다.)

지오데틱의 시작점 A가 탯줄이 아닌 경우, 그 봉투는 β = 1 위에 두 개의 쿠스프가 누워 있는 아스트로이드와 Ω = Ω1 + π이다. A의 절단 로커스는 쿠스프 사이의 선 β =1 부분이다.

적용들

직접 및 역지질 문제는 더 이상 그들이 한때 했던 지질학에서 중심적인 역할을 하지 않는다. 측지망 조정 문제를 경구 삼각법의 2차원 문제로 해결하는 대신, 이러한 문제는 이제 3차원 방법으로 해결된다(Vincenty & Bowring 1978). 그럼에도 불구하고, 지상 지오데오데틱스는 다음과 같은 몇 가지 분야에서 여전히 중요한 역할을 한다.

최소 작용의 원리에 의해, 물리학의 많은 문제들은 지오디컬의 그것과 유사한 변이적인 문제로 공식화될 수 있다. 실제로 지오데틱 문제는 표면에서 이동하도록 제약된 입자의 운동과 동일하지만, 그렇지 않으면 아무런 힘도 받지 않는다(Laplace 1799a). (Hilbert & Cohn-Vossen 1952, 페이지 222). 이 때문에 회전 타원형이나 삼축 타원형 등 단순한 표면의 지오디컬이 새로운 방법을 탐구하는 '시험사례'로 자주 이용되고 있다. 예를 들면 다음과 같다.

참고 항목

메모들

  1. ^ 여기서 α2 B에서 전방 방위각이다. 어떤 저자들은 등 방위각을 대신 계산한다; 이것은 α2 ± π에 의해 주어진다.
  2. ^ 라플라스(1799a)는 표면에서 이동하도록 제약된 입자가 그 표면의 지오데틱을 따라 어떤 힘도 작용하지 않는다는 것을 보여주었다. 그러므로 클레라우트의 관계는 단지 혁명 표면의 입자에 대한 각운동량 보존의 결과일 뿐이다.
  3. ^ Bagratuni(1962년, §17년)는 지오데틱 스케일에 대해 "서수의 융합 효율적"이라는 용어를 사용한다.
  4. ^ 이 섹션은 GeographicLib(Karney 2015, 3축 타원형 지오데틱스)에 대한 문서로부터 수정되었다.
  5. ^ 반축에 대한 이 표기법은 ab가 적도 반지름과 극성 반축을 의미하는 혁명의 타원형에 대한 이전 절에서 사용한 것과 양립할 수 없다. 따라서 해당 불평등은 말살 타원체의 경우 a = > b > 0이고, 프로이트 타원체의 경우 b ≥ a = a > 0이다.
  6. ^ 한계 b c는 파라메트릭 위도의 역할을 하는 Ω으로 프로이트 타원체를 제공한다.
  7. ^ a < 12>인 경우, 그림 11과 12 (Klingenberg 1982, §3.5.19)에 나타낸 것과 유사한 단순한 폐쇄형 지오디컬이 있다.

참조

외부 링크