수렴 반지름

수학에서 파워시리즈의 수렴반경은 시리즈가 수렴되는 시리즈 중심에 있는 가장 큰 디스크의 반지름이다. 음이 아닌 실수 또는 $\infty {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \inflt$ 양수일 때는 정합 반경과 동일한 반경의 오픈 디스크 내부에 있는 콤팩트 세트에서 파워 시리즈가 절대적이고 균일하게 수렴되며, 그 정합성이 있는 분석 기능의 테일러 시리즈가 된다. 함수의 다중 특이점(가수란 함수가 정의되지 않은 인수의 값)의 경우, 수렴 반경은 수렴 디스크의 중심에서 각 특이점까지 계산한 모든 각 거리(모두 음수가 아닌 숫자)의 최단거리 또는 최소값이다.e 함수

정의

파워 영상 시리즈 f의 경우:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infit }c_{n}(z-a)^{n}}}}$

어디에

• a는 복잡한 상수로서, 컨버전스 디스크의 중심이다.
• c는_n n번째 복합 계수다.
• z는 복합 변수다.

수렴 r의 반경은 음수가 아닌 실수 또는 $\infty {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \infit }$이며, 다음과$$ 같은 경우 영상 시리즈가 수렴된다.

$(\displaystyle z-a <r})$

그리고 다음과 같은 경우 갈린다.

$(\displaystyle z-a >r.}$

존재는 명백하기 때문에 일부는 대체 정의를 선호할 수 있다.

${\displaystyle r=\suppleft\{z-a \ \좌측 \\\\\sum \{n=0}^{\n}(z-a)^{n}\\text{}}}}}\우측으로 수렴한다.\right\}}$

경계면 즉, z - a = r에서 파워 시리즈의 동작은 복잡할 수 있으며, 시리즈는 z의 일부 값을 위해 수렴되고 다른 값을 위해 분산될 수 있다. 시리즈가 모든 복잡한 숫자 z에 대해 수렴할 경우 수렴 반경은 무한하다.^[1]

수렴 반지름 찾기

두 가지 사건이 발생한다. 첫 번째 경우는 이론적이다: 모든 ${\displaystyle {계수}_{}}$ $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\$를 알고 있으면$$ 일정한 한계를 취하여 정밀한 수렴 반경을 찾는다. 두 번째 사례는 실용적이다. 어려운 문제의 파워 시리즈 솔루션을 구축할 때 일반적으로 몇 개에서 백 개에 이르는 한정된 수의 파워 시리즈 용어만 알 수 있다. 이 두 번째 경우에는 플롯을 외삽하여 수렴 반경을 추정한다.

이론 반지름

수렴 반경은 시리즈 항에 루트 테스트를 적용하면 알 수 있다. 루트 테스트는 숫자를 사용한다.

${\displaystyle C=\limsup _{n\to \infit }{\sqrt[{n}]{n}{n}(z-a)^{n}}}}}}}{n\infit }\n\to }{sqrt[{n}}}}}}\rig) z-a }}}}$

"lim sup"은 한도가 상위를 의미한다. 루트 테스트에서는 C < 1이면 직렬이 수렴되고 C > 1이면 분산된다고 하고, z에서 중앙 a까지의 거리가 a보다 작으면 직렬이 수렴되는 것을 따른다.

${\displaystyle r={\frac {1}{\limsup _{n\to \inflt }{\sqrt[{n}]{c_{n}}}}}}}}}$

거리가 그 숫자를 초과하면 차이가 난다. 이 진술은 Cauchy-Hadamard의 정리다. r = 1/0은 f가 전체 함수라는 의미인 무한 반지름으로 해석된다는 점에 유의한다.

비율 검사에 포함되는 한계는 대개 계산이 용이하며, 그 한도가 존재할 때 수렴 반경이 유한하다는 것을 보여준다.

${\displaystyle r=\lim _{n\to \inflt }\왼쪽 {\frac {c_{n}}{n+1}}\오른쪽.}$

이것은 다음과 같다. 비율 검사에 따르면 다음과 같은 경우 시리즈가 수렴된다.

${\displaystyle \lim _{n\to \flat }{\frac {_{n+1}(z-a)^{n+1}{{c_{n}(z-a)^{n}}}}{n1}{n1}{n}}{n}}<1}.}$

그것은 에 해당한다.

${\displaystyle z-a <{\frac {1}{\lim_{n\to \flat }{{n}}{{n}}}{\frac {c_{n}}}}}{n+1}{n1}{n+1}}}오른쪽.$

실제 계수의 경우 반지름의 실제 추정

일반적으로 과학적 적용에서는 한정된 계수 ${\displaystyle c_{}}$ ${\$만 알려져$$ 있다. 일반적으로 ^[vague]$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 증가하면$$ 이러한 계수는 가장 가까운 반지름 제한 특이점에 의해 결정되는 규칙적인 동작으로 정착된다. 이 경우, Taylor 시리즈의 계수가 $비율{\displaystyle \mathrm{}}$ 1${\displaystyle }$/ r ${\displaystyle 1/r}$로 대략 지수적이라는 사실에 기초하여 두 가지 주요 기법이 개발되었다. 여기서$$ r은 수렴 반지름이다.

• 기본 사례는 계수가 궁극적으로 공통 기호를 공유하거나 기호로 교대하는 경우다. As pointed out earlier in the article, in many cases the limit ${\textstyle \lim _{n\to \infty }{c_{n}/c_{n-1}}}$ exists, and in this case ${\textstyle 1/r=\lim _{n\to \infty }{c_{n}/c_{n-1}}}$. Negative ${\displaystyle r}$ means the conve전위차 특이점은 음축에 있다. ${\displaystyle {cn}_{}}$ /${\displaystyle {}_{}{\mathrm{c}}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$- 1 ${\$ 대$$ 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle$1/$n$$}$을$($를) 그림으로 표시하여 이 한도를 추정하고,${\displaystyle }1{\displaystyle \mathrm{}}$ /${\displaystyle n}$= ${\displaystyle 0}${\$displaystyle$$$1/$n$$=0$}($$$효과적$으로${\displaystyle }$n =$$ = n$=\fty$ $\})$으로 그래픽으로 추정한다. $1{\displaystyle \mathrm{}}$/${\displaystyle \mathrm{n}}$= 0 ${\displaystyle 1/n=0}$을(를) 갖는 절편은 수렴 반지름의 역수인 ${\displaystyle 1}$/ r ${\displaystyle 1/r}$을(를) 추정한다. 이 플롯을 Domb-Sykes 플롯이라고 한다.^[3]
• 더 복잡한 경우는 계수의 부호가 더 복잡한 패턴을 갖는 경우다. 머서와 로버츠는 다음과 같은 절차를 제안했다.^[4] 관련 시퀀스 정의
  $${\displaystyle b_{n}^{2}={\frac {c_{n+1}c_{n-1}-c_{n}^{2}}:{c_{n-2}-c_{n-1}^{n-1}}}}}\n=3,4,5,\ldots.}$$

  
  알려진 b ${\displaystyle n_{}}$ ${\$ 대 ${\displaystyle 1}$/ n ${\displaystyle 1/n$을(를) 그리고 $선형{\displaystyle \mathrm{}}$ 적합을 통해$$ 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle n}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1/n=0}$로 그래픽으로 추정한다. $1{\displaystyle \mathrm{}}$/${\displaystyle n}$ = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$1/$n=0}$의 절편은 수렴 반지름의 $역수$인 1 / r ${\displaystyle 1/r}$을(를) 추정한다$.$
  또한 이 절차는 수렴 제한 특이점의 두 가지 다른 특성을 추정한다. 가장 가까운 특이점이 $도{\displaystyle }$ p ${\displaystyle p}$이고 실제 축에$$ 대한 각도${\displaystyle }$± ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \pm \theta }$을(를) 갖는다고 가정합시다. Then the slope of the linear fit given above is ${\displaystyle -(p+1)/r}$. Further, plot ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {c_{n-1}b_{n}}{c_{n}}}+{\frac {c_{n+1}}{c_{n}b_{n}}}\right)}$ versus ${\textstyle$$1/n^{2$$\}\}:$ $그러면\mathrm{}$ 1/$n{}^{}$ ${2\mathrm{}}^{}$= $0$ ${\textstyle$1$/n^{2}=0}$에 대한 선형$$ 적합치가 ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle \cos \theta}$에서 절편을 가진다$.$

복합분석에서의 수렴 반지름

수렴 반경이 양의 전력 시리즈는 그 주장을 복합 변수로 삼음으로써 홀로모르픽 함수로 만들 수 있다. 수렴 반경은 다음과 같은 정리로 특징지어질 수 있다.

a 점을 중심으로 한 파워 시리즈 f의 수렴 반경은 f가 홀로모르픽이 되는 방식으로 정의될 수 없는 a에서 가장 가까운 지점까지의 거리와 같다.

a까지의 거리가 정합 반지름보다 절대적으로 적은 모든 점의 집합을 정합성의 원반이라고 한다.

가장 가까운 점은 중심과 모든 계수가 실제라 하더라도 반드시 실제 선에 있는 것이 아니라 복잡한 평면에서 가장 가까운 점을 의미한다. 예를 들어, 함수

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}}$

$1{\displaystyle \mathrm{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 진짜 뿌리가 없기$$ 때문에 실제 라인에 특이점이 없다. 그것의 Taylor 시리즈는 약 0에 의해 주어진다.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infit }(1)^{n}z^{2n}.}$

뿌리검사에서 수렴 반경이 1이다. 이에 따라 f(z) 함수는 ±i에서 특이치를 가지며, 0에서 1의 거리에 있다.

이 정리의 증거는 홀로모르프 함수의 분석성을 참조한다.

간단한 예

삼각법의 아크탄젠트 함수는 파워 시리즈로 확장할 수 있다.

${\displaystyle \arctan(z)=z-{\frac{3}{3}}{3}+{z^{5}}}{5}-{\frac {z^{7}}+\cdots .}$

이 경우 뿌리 검사를 적용하면 수렴 반경이 1임을 쉽게 알 수 있다.

더 복잡한 예

다음 파워 시리즈를 고려하십시오.

${\displaystyle {\frac {z}{e^{z}-1}=\sum _{n=0}^{\frac{B_{n}}{n!}}}z^{n}}}$

여기서 합리적인_n 숫자 B는 베르누이 숫자다. 이 시리즈의 수렴 반경을 찾기 위해 비율 테스트를 적용하려고 하는 것은 번거로울 수 있다. 그러나 위에 기술한 복잡한 분석의 정리가 문제를 빠르게 해결한다. z = 0에서는 특이점을 제거할 수 있으므로 사실상 특이점이 없다. 따라서 유일하게 제거할 수 없는 특이점들은 분모가 0인 다른 지점에 위치한다. 우리는 해결한다.

${\displaystyle e^{z}-1=0}$

z = x + iy 및 e^iy = cos(y) + i sin(y)인 경우 이를 상기함으로써

${\displaystyle e^{z}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(\cos(y)+i\sin(y)),}$

그리고 x와 y를 현실로 가져간다. y는 실재하므로 cos(y) + i sin(y)의 절대값은 반드시 1이다. 따라서 e의^z 절대값은 e가^x 1인 경우에만 1이 될 수 있으며, x는 실제이므로 x = 0인 경우에만 발생한다. 따라서 z는 순전히 가상이며 cos(y) + i sin(y) = 1. y는 실재하므로 cos(y) = 1이고 sin(y) = 0일 경우에만 발생하므로 y는 2 2의 정수배수인 것이다. 결과적으로 이 함수의 단수점은 다음과 같이 발생한다.

z = 2πi의 0이 아닌 정수 배수.

동력 시리즈 팽창의 중심인 0에 가장 가까운 특이점은 ±2πi이다. 중심에서 그 어느 한 지점까지의 거리는 2㎛이므로 수렴 반경은 2㎛이다.

경계에서의 수렴

파워 시리즈가 a 지점을 중심으로 확장되고 수렴 반경이 r인 경우, z - a = r과 같은 모든 점의 집합은 수렴 원반의 경계라고 불리는 원이다. 전력 시리즈는 경계의 모든 지점에서 분기하거나, 일부 지점에서 분기하여 다른 지점에서 수렴하거나, 경계의 모든 지점에서 수렴할 수 있다. 더욱이, 연속이 경계상의 모든 곳에서 수렴된다 하더라도(일률적으로라도), 반드시 절대적으로 수렴되는 것은 아니다.

예 1: f(z) = 1/(1 - z) 함수에 대한 파워 시리즈는 z = 0 주위에 확장되며, 이는 단순하다.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\\infit }z^{n}}}$

수렴 반경이 1이고 경계 모든 지점에서 분산된다.

예 2: g(z) = -ln(1 - z)에 대한 파워 시리즈, z = 0 주위에 확장된 경우,

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\inflt }{\frac {1}{n}z^{n}}}$

수렴 반경이 1이고, z = 1에 대해 분산되지만 경계의 다른 모든 점에 대해 수렴한다. 사례 1의 함수 f(z)는 g(z)의 파생상품이다.

예제 3: 파워 시리즈

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\inflt }{1}{n^{n1}{n^}z^{n}}}}}}}$

정합 반경 1을 가지고 있고 경계선상의 모든 곳에 절대적으로 수렴한다. h가 단위 디스크에서 이 시리즈로 대표되는 함수라면, h(z)의 파생상품은 예 2의 g와 g(z)/z와 같다. h(z)가 dilogarithm 함수인 것으로 밝혀졌다.

예 4: 파워 시리즈

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}z^{i}{\text{ where }}a_{i}={\frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}n}}{\text{ for }}n=\lfloor \log _{2}(i)\rfloor +1{\text{, the unique integer with }}2^{n-1}\leq i<2^{n},}$

수렴 반지름 1을 가지며 전체 경계 z = 1에서 균일하게 수렴하지만 절대적으로 경계에 수렴하지는 않는다.^[5]

수렴율

기능을 확장하면

${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\inflt }{\frac {(-1)^{n}}{n}}{n+1)!}}}x^{2n+1}=x-{\frac{x^{3}}{3}{3!2}}+{\frac{x^{5}{5}}{5!}}-\cdots{\text{{}모든 }$

x = 0점을 전후하여, 이 시리즈의 수렴 반경이$\$ {\$displaystyle$ \$inflt }$이라는 것을 알 수 있는데, 이는 이 시리즈가 모든 복잡한 숫자에 대해 수렴한다는 것을 의미한다$$. 그러나 응용에서는 숫자 답의 정밀도에 관심을 갖는 경우가 많다. 항 수와 시리즈를 평가해야 하는 값은 모두 답의 정확도에 영향을 미친다. 예를 들어 죄(0.1)를 소수점 이하 5자리까지 정확하게 계산하려면 시리즈 첫 두 항만 있으면 된다. 그러나 x = 1에 대해 동일한 정밀도를 원한다면 시리즈의 처음 5개 항을 평가하고 합해야 한다. 죄(10)의 경우 시리즈 첫 18개 항을 요구하고, 죄(100개)의 경우 처음 141개 항을 평가해야 한다.

따라서 이러한 특정 값들의 경우, 전력 시리즈 확장의 가장 빠른 수렴이 중심이며, 한 사람이 수렴의 중심에서 멀어질 때, 수렴 속도는 경계(존재하는 경우)에 도달하여 교차할 때까지 느려지는데, 이 경우 직렬이 분산될 것이다.

디리클레 시리즈 융합의 압시사

유사한 개념은 디리클레 시리즈가 융합되는 순간이다.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\inflt }{\frac {a_{n}{n^{s}}}.}$

그러한 시리즈는 계수 a에_n 따라 s의 실제 부분이 특정 숫자보다 크면 수렴된다.

메모들

참조

• Brown, James; Churchill, Ruel (1989), Complex variables and applications, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-010905-6
• Stein, Elias; Shakarchi, Rami (2003), Complex Analysis, Princeton, New Jersey: Princeton University Press, ISBN 0-691-11385-8

참고 항목

• 수렴시험
• 루트 테스트

외부 링크

• 수렴 반경이 무엇인가?