대체 응력 측정

Alternative stress measures

연속체 역학에서 가장 일반적으로 사용되는 스트레스의 척도는 단순 스트레스 텐서 또는 "진정한 스트레스"라고 불리는 코치 스트레스 텐서다. 그러나 스트레스의 몇 가지 대안적인 척도를 정의할 수 있다.[1][2][3]

  1. 스트레스( (
  2. 공칭 응력( {\
  3. 첫 번째 Piola-Kirchhoff 스트레스( 텐서(P = 는 공칭 스트레스의 전치물이다.
  4. 두 번째 Piola-Kirchhoff 스트레스 또는 PK2 스트레스(
  5. Biot 응력(

정의들

다음 그림에 표시된 상황을 고려하십시오. 다음 정의는 그림에 표시된 표기법을 사용한다.

스트레스 측정의 정의에 사용된 수량

In the reference configuration , the outward normal to a surface element is and the traction acting on that surface is leading to a f오ce 벡터 d { . In the deformed configuration , the surface element changes to with outward normal and traction vector leading to a force . Note that this surface can e그녀는 가상의 신체 내부 또는 실제 표면이다. 수량 (는) 변형 구배 텐서, (가) 결정 요인이다.

코치 스트레스

Cauchy 응력(또는 참응력)은 변형된 구성에서 면적의 요소에 작용하는 힘을 측정한 것이다. 이 텐서는 대칭이며 다음을 통해 정의된다.

또는

는) 트랙션이고 n 은 트랙션이 작용하는 표면의 정상이다.

키르호프 스트레스

수량,

{\ 결정인자를 가지고 Kirchhoff 스트레스 텐서(Kirchhoff stress 라고 불리며 금속 가소성(소성 변형 시 부피 변화가 없는 곳)의 수치 알고리즘에 널리 사용된다. 그것은 또한 가중 코치 스트레스 텐서라고 불릴 수 있다.

피올라-키르호프 스트레스

공칭 응력/첫 번째 피올라-키르호프 응력

공칭 응력 = T 첫 번째 Piola-Kirchhoff 응력(PK1 스트레스, 엔지니어링 스트레스라고도 함) {\을 통해 정의된다.

또는

이 스트레스는 비대칭이며 변형 구배와 같은 2점 텐서다.
비대칭성은 텐서로서 기준 구성에 1개의 지수를 부착하고 변형된 구성에 1개의 지수를 부착하는 데서 유래한다.[4]

제2의 피올라-키르호프 스트레스

를) 참조 구성으로 되돌리면

또는

PK2 스트레스( {대칭이며 관계를 통해 정의된다.

그러므로

비오트 응력

The Biot stress is useful because it is energy conjugate to the right stretch tensor . The Biot stress is defined as the symmetric part of the tensor where is the rotation t변형 구배 극지방 분해에서 얻은 enzor 따라서, Biot 응력 텐서는 다음과 같이 정의된다.

비오트 스트레스는 자우만 스트레스라고도 불린다.

수량 에는 물리적 해석이 없다. 그러나 비대칭적 바이오트 스트레스는 그 해석을 가지고 있다.

관계

코치 스트레스와 명목 스트레스 사이의 관계

Nanson의 기준 및 변형 구성의 영역 관련 공식:

자, 이제.

그러므로,

또는

또는

색인 표기법에서,

그러므로

로 N (와) {은(일반적으로) 대칭이 아니기 때문에 (일반적으로) 대칭이 아니다.

명목 응력과 두 번째 P-K 응력 사이의 관계

그것을 상기하다.

그리고

그러므로

또는 ( 의 대칭 사용)

색인 표기법에서,

또는, 우리는 글을 쓸 수 있다.

Cauchy 스트레스와 두 번째 P-K 스트레스 사이의 관계

그것을 상기하다.

제2의 PK스트레스라는 측면에서는.

그러므로

색인 표기법에서,

카우치 스트레스(따라서 키르호프 스트레스)가 대칭적이기 때문에 2차 PK 스트레스도 대칭적이다.

또는, 우리는 글을 쓸 수 있다.

또는

분명히, 푸시-포워드-풀-백(push-forward and pull-back) 작업의 정의에서, 우리는

그리고

Therefore, is the pull back of by and is the push forward of .

참고 항목

스트레스 측정 간의 관계 요약

hidConversion formulae
- 1 - F boldsymbol{F {F}^{비 동위원소)
- M 동위원소 제외)
- 비 동위원소) - {동위원소 제외)

참조

  1. ^ J. Bonet과 R. W. W. Wood, 유한요소해석을 위한 비선형 연속체 역학, 캠브리지 대학 출판부.
  2. ^ R. W. Ogden, 1984, 비선형 탄성 변형, 도버.
  3. ^ L. D. 란다우, E. M. 리프시츠, 탄성 이론, 제3판
  4. ^ Three-Dimensional Elasticity. Elsevier. 1 April 1988. ISBN 978-0-08-087541-5.