아도미안 분해법

아도미안 분해법(ADM)은 일반 및 부분 비선형 미분방정식을 풀기 위한 반분석법이다.이 방법은 1970년대부터 1990년대까지 조지아대 응용수학센터장인 조지 아도미안이 개발했다.^[1]Ito 일체형(integrated)을 사용함으로써 확률적 시스템으로 더욱 확장될 수 있다.^[2]이 방법의 목적은 부분 미분방정식(PDE)의 해법에 대한 통일된 이론을 지향하는 것이다. 이는 호모토피 분석법의 보다 일반적인 이론으로 대체되었다.^[3]이 방법의 중요한 측면은 단순히 시스템을 선형화하지 않고 방정식의 비선형 부분의 솔루션 정합화를 가능하게 하는 "아도미 다항식"의 고용이다.이러한 다항식들은 임의의 외부 매개변수에 대해 Maclaurin 시리즈에 수학적으로 일반화하며, 이는 솔루션 방법을 직접 테일러 시리즈 확장보다 더 많은 유연성을 제공한다.^[4]

일반 미분 방정식

아도미안 방법은 초기 조건 문제를 포함하는 중요한 문제군인 카우치 문제를 해결하는 데 매우 적합하다.

1차 비선형 시스템에 대한 적용

일반적인 미분 방정식의 초기 조건 문제의 예는 다음과 같다.

${\displaystyle y^{\premy }(t)+y^{2}(t)=-1,}$

$[\displaystyle y(0)=0]}$

이 문제를 해결하기 위해 최고 등급의 차등 연산자(여기 L로 표기)를 좌측에 다음과 같은 방법으로 배치한다.

${\displaystyle Ly=-1-y^{2},}$

L = d/dt 및 ${\displaystyle {\mathrm{L}}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle L^{-1}=\int _{0}^{t$ 이제 솔루션은 무한히 일련의 기여로 가정된다.

${\displaystyle y=y_{0}+y_{1}+y_{1}+y_{2}+y_{3}+\cdots .}$

이전 식에서 대체하여 다음 사항을 얻는다.

${\displaystyle (y_{0}+y_{1}+y_{2}+y_{3}+\cdots )=y(0)+L^{-1}[-1-(y_{0}+y_{1}+y_{1}+y_{2}+y_{3}+{3}+\cdots )^{2}]}$

이제 우리는 오른쪽의 어떤 명시적 표현으로 y를₀ 식별하고, 오른쪽의_i 어떤 표현은 i보다 낮은 순서의 용어를 포함하고 있다.예를 들어,

${\displaystyle {\begin{aligned}&y_{0}&=&\ y(0)+L^{-1}(-1)&=&-t\\&y_{1}&=&-L^{-1}(y_{0}^{2})=-L^{-1}(t^{2})&=&-t^{3}/3\\&y_{2}&=&-L^{-1}(2y_{0}y_{1})&=&-2t^{5}/15\\&y_{3}&=&-L^{-1}(y_{1}^{2}+2y_{0}y_{2})&=&-17t^{7}/315.\end{정렬}}}$

이런 식으로 어떤 기여도 어떤 순서에서도 명시적으로 계산할 수 있다.4개의 첫 번째 조건에 합의할 경우 근사치는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=y_{0}+y_{1}+y_{2}+y_{3}+\cdots \\&=-\left[t+{\frac {1}{3}}t^{3}+{\frac {2}{15}}t^{5}+{\frac {17}{315}}t^{7}+\cdots \right]\end{aligned}}}$

블라시우스 방정식에 적용

두 번째 예로는, 더 복잡한 경계 조건을 가진 블라시우스 방정식이 있다. 경계 층의 흐름에 대한 블라시우스 방정식:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d}^{3}{\mathrm {d}{3}}+{\frac {1}{2}}u{\frac {d}{2}u}{\mathrm {d}x2}}=0}$

경계에 다음과 같은 조건이 있는 경우:

${\displaystyle {\infline}u(0)&=0\\u^{\premium \premium \infline}}{\premium \infline}}}}}}$

Linear and non-linear operators are now called ${\displaystyle L={\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}}$ and ${\displaystyle N={\frac {1}{2}}u{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}}$, respectively.그러면 그 표현은 다음과 같이 된다.

${\displaystyle Lu+Nu=0}$

이 경우 해결책은 다음과 같은 간단한 방법으로 표현할 수 있다.

${\displaystyle u=\alpha +\beta x+\gamma x^{2}/2-L^{-1}Nu}$

여기서: $L{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle \xi }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \int }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x}$ x${\displaystyle d\mathrm{}}$ ${\displaystyle d}$ x ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle x}$ )$dstyle$ L$^{-1}\xi (x)=\int dx\int \mathrm {d} x\int \mathrmark {d}$ x$\;\;\xi (x)}$ 만약$$:

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=u^{0}+u^{1}+u^{2}+\cdots +u^{N}\\&=\alpha +\beta x+\gamma x^{2}/2-{\frac {1}{2}}L^{1}(u^{0}+u^{1}+u^{2}+\cdots +u^{N}){\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}(u^{0}+u^{1}+u^{2}+\cdots +u^{N})\end{aligned}}}$

및:

${\displaystyle {\begin{ligned}&u^{0}&#0}&###{0}•\beta x^{1}&#1}&-{1}{1}{{1}{1}{{0}u^{0}}}&-L^{1}A_{0}\\&u^{2}&=&-{\frac {1}{2}}L^{1}(u^{1}u^{0''}+u^{0}u^{1''})&=&-L^{1}A_{1}\\&u^{3}&=&-{\frac {1}{2}}L^{1}(u^{2}u^{0''}+u^{1}u^{1''}+u^{0}u^{2''})&=&-L^{1}A_{2}\\&&\cdots &\end{aligned}}}$

비선형 항을 선형화하기 위한 아도미안의 다항식은 다음 규칙을 이용하여 체계적으로 얻을 수 있다.

${\displaystyle A_{n}={\frac {1}{n!}}{{\frac {\mathrm {d} ^{n}{n}\mathrm {d} \n}f(u(\}}da )\mid _{\mathda =0}}$

여기서: $d{\displaystyle \frac{{\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \frac{{\lambda n}^{}}{}}$ ${\displaystyle u_{}}$ (${\displaystyle \lambda }$ ) ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0{}_{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$! ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$ {d$}^{n$}{{n}{\$mathrm{d} \da ^{n}}}u$(\}}$da )\mid _{\\lambda =0}=n!u_{n}}}}}}}}}}}}}}}.$

경계 조건은 일반적으로 각 근사치의 끝에 적용되어야 한다.이 경우 통합 상수는 세 개의 최종 독립 상수로 그룹화해야 한다.그러나, 본 예에서는, 위의 공식 해법에 나타낸 형태로 처음부터 그룹화한 세 개의 상수가 나타난다.두 개의 첫 번째 경계 조건을 적용한 후에 우리는 소위 블라시우스 시리즈를 얻는다.

${\displaystyle u={\frac {\properties }{2}}-{\frac {\frac }{2}}:}\왼쪽{x^{5}}{5}}{5!}}}\오른쪽)+{\frac {11\cHB^{3}{4}}{4}\왼쪽_frac{x^{8}{8}}{8!}}}\오른쪽)-{\frac {375\limit ^{4}{8}}\왼쪽_frac{x^{11}}{11!}}}\오른쪽)+\cdots }$

γ을 얻으려면 ∞에 경계 조건을 적용해야 하며, 이는 시리즈를 Padé 근사치로 작성함으로써 이루어질 수 있다.

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{L+M}c_{n}z^{n}={\frac {a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{L}z^{L}}{b_{0}+b_{1}z+\cdots +b_{M}z^{M}}}}$

여기서 L = M.이 표현식의$$ $\{{\displaystyle \mathrm{}}${\$displaystyle \infit$}의 한계는_L a/b이다_M.

b₀ = 1을 선택하면 b 계수에 대한 M 선형 방정식이 얻어진다.

${\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc}c_{L-M+1}&c_{L-M+2}&\cdots &c_{L}\\c_{L-M+2}&c_{L-M+3}&\cdots &c_{L+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\c_{L}&c_{L+1}&\cdots &c_{L+M-1}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}b_{M}\\b_{M-1}\\\vdots \\b_{1}\end{array}}\right]=-\left[{\begin{array}{c}c_{L+1}\\c_{L+2}\\\vdots \\c_{L+M}\end{array}}\right]}$

그런 다음 다음 다음 시퀀스를 통해 계수를 얻는다.

${\displaystyle {\c_{0}a_{0}&=c_{0}\\\1}+b_{1}+b_{0}\{1}+c_{2}+c_{1}+b_{1}{1}+b_{2c_{0}\&cdots \{{1}L}&=c_{L}+\sum _{i=1}^{\min(L,m)}b_{i}c_{L-i}.\end{정렬}}}$

이 예에서는 다음을 참조하십시오.

${\displaystyle u'(x)=\cHB x-{\frac {\frac ^{2}}\{2}}\좌측{x^{4}}{4}}{4!}}}\오른쪽)+{\frac {11\cHB^{3}{4}}{4}\왼쪽_frac{x^{7}{7}}{7!}}}\오른쪽)-{\frac {375\limit ^{4}{8}}\왼쪽_frac{x^{10}{10}}{10!}}}$

γ = 0.0408이면 다음과 같다.

${\displaystyle u'(x)={\frac {0.0204+0.0379\,z-0.0059\,z^{2}-0.00004575\,z^{3}+6.357\cdot 10^{-6}z^{4}-1.291\cdot 10^{-6}z^{5}}{1-0.1429\,z-0.0000232\,z^{2}+0.0008375\,z^{3}-0.0001558\,z^{4}-1.2849\cdot 10^{-6}z^{5}}},}$

제한 사항:

$\displaystyle \lim _{x\to \ft }u(x)=1.004.}$

이는 정확도가 4/1000인 1(경계 조건 (3)부터)과 거의 같다.

부분 미분 방정식

비선형성을 갖는 직사각형 시스템에 대한 적용

물리과학에서 가장 빈번한 문제 중 하나는 직사각형 경계에서 기능 값 집합을 만족하는 (선형 또는 비선형) 부분 미분 방정식의 해답을 구하는 것이다.예를 들면 다음과 같은 문제가 있다.

${\displaystyle {\frac {\fract ^{2}u}{\frac x^{2}}+{\frac ^{\preased y^{2}}-b{\preased u^{2}}:{\frac x}=\rho (x,y)\qquad(1)}$

직사각형에 정의된 다음과 같은 경계 조건:

${\displaystyle u(x=0)=f_{1}(y)\datable {\text{and}\data u(x=x_{l})=f_{2}(y)\qquad {\text{1-a}}}}}}$

${\displaystyle u(y=-y_{l}}=g_{1}(x)\datable u(y=y_{l})=g_{2}(x)\qquad{\text{b)}}}}}}}}}$

이러한 종류의 부분 미분 방정식은 이공계에서의 다른 것과 자주 결합하여 나타난다.예를 들어, 압축할 수 없는 유체 흐름 문제에서, Navier는–스토크 방정식은 압력에 대한 포아송 방정식과 병렬로 풀어야 한다.

시스템 분해

문제 (1)에 대해 다음과 같은 표기법을 사용합시다.

${\displaystyle L_{x}u+L_{y}u+Nu=\rho(x,y)\qquad(2)}$

여기서 L_x, L은_y 이중 유도 연산자, N은 비선형 연산자다.

(2)의 공식 해결책은 다음과 같다.

${\displaystyle u=a(y)+b(y)+L_{x}^{-1}\rho(x,y)-L_{x}^{-1}L_{y}L_{x}^{-1}Nu\qquad (3)}$

현재 NAT의 솔루션에 대한 일련의 기여를 통해 귀사를 확장하십시오.

${\displaystyle u=u_{0}+u_{1}+u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots }$

(3)로 대체하고, 왼쪽의 기여금과 오른쪽의 용어 사이에 일대일 대응함으로써 다음과 같은 반복적인 계획을 얻는다.

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{0}&=a_{0}(y)+b_{0}(y)x+L_{x}^{-1}\rho (x,y)\\u_{1}&=a_{1}(y)+b_{1}(y)x-L_{x}^{-1}L_{y}u_{0}+b\int dxA_{0}\\&\cdots \\u_{n}&=a_{n}(y)+b_{n}(y)x-L_{x}^{-1}L_{y}u_{n-1}+b\int dxA_{n-1}\quad 0<n<\infty \end{aligned}}}$

여기서 {a_n(y) 커플 b_n(y)}은 다음과 같은 방정식 시스템의 해결책이다.

${\displaystyle {\regated}\varphi ^{n}(x=0)&=f_{1}(y)\\\varphi ^{n}(x=x_{l})&=f_{2}(y),\end{liged}}}}}}$

여기서 ${\displaystyle {\phi n}^{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$= 0 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ = ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{0}}}$ n ${\displaystyle u_{}}$ i ${\$는 솔루션에$$ 근접한 n번째 순서이며, 아도미안 다항식에서는 N u가 일관되게 확장되었다.

${\displaystyle {\begin{aligned}Nu&=-b\partial _{x}u^{2}=-b\partial _{x}(u_{0}+u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots )(u_{0}+u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots )\\&=-b\partial _{x}(u_{0}u_{0}+2u_{0}u_{1}+u_{1}u_{1}+2u_{0}u_{2}+\cdots )\\&=-b\partial _{x}\sum _{n=1}^{\infty }A(n-1),\end{aligned}}}$

여기서 ${\displaystyle a_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\nu }}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ (${\displaystyle \nu }$, n${\displaystyle }$) f${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {}^{}{u}^{}}$ ) (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ )$${\$displaystyle A_{$n}=\$sum _{nu$ =1$}^{n(\nu,n)f^{nu}{0$$},$ f(u) = u²) = u.

여기서 C(또는 n)는 첨자가 n에 이르는 u의 ν 성분들의 제품(또는 제품 합계)이며, 반복 첨자 수의 요인(attactor)으로 나눈다.나타나는 모든 조합이 조만간 활용될 수 있도록 체계적으로 분해를 명령하는 것은 엄연한 규칙일 뿐이다.

$\sum {\displaystyle \underset{n}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{0}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle A_{}}$ n ${\$는 u에₀ 관한 일반화된 테일러 시리즈의 합계와 같다.^[1]

(1) 예제의 경우, 아도미안 다항식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\reasoned}A_{0}&=u_{0}^{2}\\A_{1}&=2u_{0}u_{1}\\A_{2}&=u_{1}^{2}+2u_{0}u_{2}\\A_{3}&=2u_{1}u_{1}u_{2}+2u_{0}u_{3}\\\\\cdots \ended}}}}}$

A의_n 표현에 대해서도 가능한 다른 선택이 가능하다.

시리즈 솔루션

가장 높은 선형 미분 연산자의 m은 질서와는lim n→ ∞φ nxu(^{n}=u}.[5]이 방법을 사용하여 해결책을 체계적으로는 함께 통합에 의해 찾아질 수 있Cherruault은 이 시리즈 측면 Adomian의 방법 접근 0으로 1(중성자의 정지 질량)로 얻은!를 설립했다. 2방향: x-방향에서는 식 (3)을 사용하고, 대안으로 y-방향에서는 다음 식을 사용한다.

$[\displaystyle u=c(x)+d(x)y]+L_{y}^{-1}^{-1}\rho (x,y)-L_{y}^{-1}L_{x}u-L_{y}^{-1}Nu}$

여기서: c(x), d(x)는 y = - y_l 및 y = y:의_l 경계 조건에서 얻는다.

${\displaystyle {\displaysty}u(y=-y_{l})&=g_{1}(x)\\u(y=y_{l})&=g_{2}(x)\ended}}}}}}}$

만약 우리가 두 개의 각각의 솔루션을 x-partial 솔루션과 y-partial 솔루션이라고 부른다면, 이 방법의 가장 흥미로운 결과 중 하나는 x-partial 솔루션이 두 개의 경계 조건(1-a)만 사용하고 y-partial 솔루션은 조건(1-b)만 사용한다는 것이다.

따라서 경계함수 {f₁, f₂} 또는 {g₁₂, g}의 두 집합 중 하나는 중복되며, 이는 x = x₁, x = x의₂ 조건이 y = y₁, y = y의₂ 조건과 일치해야 하기 때문에 사각형의 경계조건이 있는 부분 미분방정식이 경계에서 임의의 경계조건을 가질 수 없음을 의미한다.

이 점을 명확히 하는 예는 다음과 같은 경계 조건을 가진 포아송 문제의 해법이다.

${\displaystyle {\justice}u(x=0)&=f_{1}(y)=0\\u(x=x_{l})&=f_{2}(y)=0\end}}}}}$

아도미안의 방법과 심볼 프로세서(Mathematica나 Mapane과 같은 것)를 사용하면 해법에 근접한 세 번째 순서를 쉽게 얻을 수 있다.이 근사치는 초기 문제에서 대체하여 (x, y)의 함수로 얻은 잔차의 절대값을 표시함으로써 증명할 수 있기 때문에 어떤 점에서든 5×10⁻¹⁶ 미만의 오차를 가진다.^[6]

y = -0.25 및 y = 0.25의 용액은 이 경우 다음과 같은 특정 기능에 의해 제공된다.

${\displaystyle g_{1}(x)=0.0520833\,x-0.347222\,x^{3}+9.25186\,x^ 10^{-17}x^{4}+0.833333\,x^{5}-0.55556\,x^{6}}}}}}$

및 g₂(x) = g₁(x) 각각

이 두 가지 경계 함수를 사용하여 y-방향으로 (이중) 통합을 수행할 경우 동일한 솔루션이 얻어질 것이며, 이 솔루션은 u(x=0, y) = 0과 u(x=0.5, y) = 0을 충족하며 이러한 경계에서 다른 조건을 충족할 수 없다.

일부 사람들은 이러한 결과에 놀라고 있다; 모든 초기 경계 조건이 차등 시스템을 해결하기 위해 명시적으로 사용되어야만 하는 것은 아닌 것 같다.단, 가장자리에 불연속성이 없다면 직사각형의 네 면에 있는 어떤 기능 조건에 대해 타원 방정식이 하나뿐이라는 것은 잘 확립된 사실이다.이러한 오해의 원인은 과학자와 공학자들이 힐버트 공간의 약한 수렴(경계함수까지의 거리는 실용적인 목적에 적합할 정도로 작다)이라는 관점에서 보통 경계조건으로 생각하기 때문이다.대조적으로, Cauchy 문제는 주어진 경계함수와 그것의 모든 파생상품에 점 대 점 수렴을 강요한다(그리고 이것은 상당히 강한 조건이다!첫 번째 함수의 경우, 함수와 경계에 부과된 참 함수 사이의 영역(또는 다른 함수 거리)이 원하는 만큼 작을 때 경계 조건을 만족시키지만, 두 번째 함수의 경우 함수는 구간의 모든 점에서 부과되는 참 함수를 선호해야 한다.

언급된 포아송 문제는 기능 경계₁ 조건₂ f, f₁, g₂, g에 대한 해결책을 가지고 있지 않지만, f가₁ 주어진 경우₂, 문제가 해결책이 있는 (약한 수렴 의미에서) 원하는 대로 g, g에₂^*₁ 가까운₂ 경계 함수 g를₁^* 항상 찾을 수 있다.이 특성은 포아송과 다른 많은 문제들을 임의의 경계조건으로 해결할 수 있게 해주지만, 결코 경계에 정확히 명시된 분석 기능에 대해서는 가능하지 않다.X-방향으로 통합된 이 문제를 해결함으로써 경계조건의 작은 변화에 대한 PDE 해결책의 높은 민감도를 독자는 시각적으로 구별할 수 없음에도 불구하고 경계기능이 약간 다른 것으로 스스로 납득할 수 있다.예를 들어, 경계 조건이 있는 솔루션:

${\displaystyle f_{1,2}(y)=0.00413682-0.0813801\,y^{2}+0.264416\,y^{4}-0.27778\,y^{6}}}$

x = 0 및 x = 0.5이며 경계 조건이 있는 용액:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1,2}(y)=0.00413683&-0.00040048\,y-0.0813802\,y^{2}+0.0101279\,y^{3}+0.260417\,y^{4}\\&-0.0694455\,y^{5}-0.277778\,y^{6}+0.15873\,y^{7}+\cdots \end{aligned}}}$

x = 0과 x = 0.5에서 두 기능 모두 시각적으로 구별할 수 없음에도 불구하고 서로 다른 부호 볼록도로 측면 기능을 생성한다.

타원형 문제와 기타 부분 미분방정식의 해법은 양면만 사용할 때 부과되는 경계함수의 작은 변화에 매우 민감하다.그리고 이 민감도는 실제 시스템을 나타내야 하는 모델과 쉽게 호환이 되지 않는데, 이는 실험 오류를 포함하는 측정을 통해 설명되며 일반적으로 힐버트 공간의 초기 경계 값 문제로 표현된다.

분해 방법 개선

적어도 세 가지 방법이 부과된 조건 {f₁, f₂}의 측면 세트와 호환되는 경계 함수 g₁^*, g를₂^* 얻기 위해^[7][8] 보고되었다.이를 통해 필요한 정확도로 닫힌 사각형에서 어떤 PDE 경계 문제의 분석 솔루션을 찾을 수 있으므로 표준 아도미안의 방법이 다루지 못했던 광범위한 문제를 해결할 수 있다.

첫 번째 것은 x = 0과 x = x₁(조건 1-a)에 부과된 두 경계 함수를 y: p₁₁, p의₂₁ Nth-order 다항식을 사용하여 두 가지 경계 함수를 혼란스럽게 하며, 여기서₂ 두₁ 개의₂ 섭동 함수의 규격이 경계에서 필요한 정확도보다 작다₂.이 p1, p2다항식의 집합 ci에, 나는 1정도,..., N. 그러나 그Adomian 법과 기능은지도 나쁘지도 않은 집합을 의존하고 있는 4경계엔 적용된다, 나는 1정도,..., N. 마지막으로, F(c1, c2,..., cN)이 네가지 기능의 합으로 정의된 경계 기능, 그리고 F(c1, c2,..., cN)사이의 거리고 달려 있다..진짜경계함수(1-a) 및 (1-b)가 최소화된다.이러한 방식으로, 문제는_i c, i = 1, ..., N 매개변수의 일부 조합에 대해 전지구적 최소값을 갖는 F(c₁, c₂, c, ..., c_N) 함수의 전지구적 최소화로 축소되었다. 이 최소값은 유전 알고리즘을 이용하거나 체루룩(1999년)이 제안한 것과 같은 다른 최적화 방법을 사용하여 찾을 수 있다.^[9]

초기 경계 문제의 분석 근사치를 구하는 두 번째 방법은 아도미안 분해를 스펙트럼 방법과 결합하는 것이다.^[7]

마지막으로 Garcia-Olivares가 제안한 세 번째 방법은 4개의 경계에서 분석 솔루션을 부과하는 것에 기초하지만, 경계와 가까운 좁은 지역에서만 원래의 미분 운영자와 다른 방식으로 수정하고, 4개의 경계에서 정확히 분석 조건을 만족하도록 해답을 강제한다.경계선^[8]

갤러리

참조